Nato a Castel San Felice, presso Spoleto, si trasferì in gioventù a Roma, dove si distinse come orologiaio, meccanico e ottico. Inizialmente lavorò con i fratelli maggiori Matteo, parroco e cultore di meccanica, e Pier Tommaso, orologiaio del Vaticano. Negli oltre cinquant'anni di attività, Giuseppe produsse molti strumenti ottici, fra i quali vanno segnalati, per la loro qualità, i microscopi composti e i cannocchiali, dotati di lenti di eccellente fattura. I suoi cannocchiali si rivelarono spesso più potenti di quelli costruiti da Christiaan Huygens (1629-1695) e da Eustachio Divini (1610-1685). Nel 1663-1664 inventò uno speciale oculare per cannocchiali, il cosiddetto "oculare di Campani". Fra gli acquirenti dei suoi strumenti c'erano personalità come i cardinali Francesco Barberini e Flavio Chigi, il principe Agostino Chigi, il Granduca di Toscana Ferdinando II (1610-1670), Jean-Baptiste Colbert (1619-1683). Alcuni suoi telescopi, utilizzati anche da Giovanni Domenico Cassini (1625-1712), furono acquistati dall'Osservatorio di Parigi, inaugurato nel 1667. Campani si dedicò inoltre alle osservazioni astronomiche, rilevando, forse prima dello stesso Cassini, la rotazione di Giove e la suddivisione degli anelli di Saturno. I suoi strumenti sono conservati, oltre che presso il Museo Galileo di Firenze, anche presso il Conservatoire des Arts et Métiers di Parigi, l'Observatoire National di Parigi, il Medical Museum of the Armed Forces Institute of Pathology di Washington e altri centri. Molti strumenti, utensili e lenti dell'officina ottica di Campani sono conservati presso l'Istituto di Fisica dell'Università di Bologna.